\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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    a4paper,
    left=12.7 mm,
    right=12.7 mm,
    top=12.7 mm,
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}

\section{引言：我们（大概）会遇到什么}
\footnote
{
    参考：朗道《场论》、Griffiths《电动力学导论》、https://zhuanlan.zhihu.com/p/386643754。
    本文使用AI辅助。
}
作为笔记的开头，我们最好先熟悉一下即将遇到的内容。
在经典力学中，系统的状态由各个粒子的位置和动量描述：
$$
\{\bvec{r}_1, \bvec{p}_1, \ldots\}
$$
而在电动力学中，由于考虑了局域性的观点，我们引入了与带电粒子相互作用的电磁场 $\bvec{E}$ 和 $\bvec{B}$，
因此除了描述粒子之外，还需描述场。
在相对论电动力学中，我们将发现比电磁场更“基本”的物理量或许是电磁场的4-势$A^\mu$（将在下文介绍），4-势也相当于一个场：
$$
\{\bvec{r}_1, \bvec{p}_1, \ldots, A^\mu, \partial_\nu A^\mu\}
$$
其中$A^\mu$与$\partial_\nu A^\mu$代表4-势的场及其各类偏导。
由于场在时空中的每一点$(t,x,y,z)$处均有定义，而时空又有无数的点，因此我们实则要描述无数个$A^\mu$，每个 $A^\mu$ 都代表时空中一点处的场
\footnote
{
	举一个不太准确的例子，假设我们尝试“列举出 $A^\mu$ 的几项”：
	$$
		\{ 
			A^\mu(t_0,x_0,y_0,z_0),
			A^\mu(t_1,x_1,y_1,z_1),
			A^\mu(t_2,x_2,y_2,z_2),
			\ldots
		\}
	$$
	这些分别表示时空中不同点处的场。显然，由于时空中有无数个点，我们可以无穷无尽地将这个列表列下去。
	然而，由于实数集是“连续的无穷”，即不可数的无穷，这个列表即使有无限长也不可能列举出所有的 $A^\mu$！
}等。
因此，有人将场称为具有“无穷自由度”的系统。

相对论电动力学的主要问题仍是这些物理量将如何变化，即电荷如何运动、场如何演化、以及电荷与场如何相互作用，
这数学地表示为三个作用量：
\begin{equation}
    S = S_m + S_f+ S_{mf} 
\end{equation}
其中$S_m$ 表示电荷自身运动的作用量，$S_f$ 表示场自身演化的作用量，$S_{mf}$ 表示电荷与场相互作用的作用量。
同时处理这三项是困难的，并且据说这在经典物理中可能导致不物理的结果。
因此我们两两分别处理：
\begin{itemize}
    \item 如果我们选取 $S_m + S_{mf}$，则推导的是“场如何影响电荷”，即Lorentz力。
    \item 如果我们选取 $S_f + S_{mf}$，则推导的是“电荷如何影响场”，即Maxwell方程。
\end{itemize}
我们先从推导Lorentz力开始。

\newpage
\section{相对论性带电粒子的运动}

\subsection{电荷与电磁场的作用量}

我们在“相对论自由粒子”的笔记中已经知道，自由粒子的作用量是
\begin{equation}
	S_m = - m_0 c \int \dd s
\end{equation}
而带电粒子将受到电磁场的作用，直接给出电荷与电磁场耦合的作用量：
\begin{equation}
	S_{mf} =- q \int A_\mu \dd x^\mu
\end{equation}
这似乎是构造粒子与场耦合的最简单方式，有人称其为“最小耦合原理”。
但很快我们会发现，即使是如此简单的耦合，也能造就丰富多彩的电磁现象。
因此，电磁场中的带电粒子的作用量是上述二者之和：
\begin{equation}
	S = S_m + S_{mf} = - m_0 c \int \dd s - q \int A_\mu \dd x^\mu
\end{equation}
其中 $m_0$ 粒子的质量，
$c$ 是光速，
$q$ 是粒子的电荷，
$A^\mu$ 是电磁场的 4-势，
$\dd x^\mu = (c\dd t, \dd x, \dd y, \dd z)^T$，
$\dd s = c \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2} \dd t$ 是世界线，
$\bvec v = (v_x,v_y,v_z)^T$是粒子的“平常”速度。
$A_\mu \dd x^\mu$项即代表了电荷与电磁场的耦合。

具体而言，4-势$A^\mu$是：
\begin{equation}
	A^\mu=(\varphi/c,A_x,A_y,A_z)^T
\end{equation}
其中$\varphi$相当于电标势，$(A_x,A_y,A_z)^T$相当于磁矢势。
类似于四维时空坐标，4-势是可以被Lorentz变换的物理量。
注意，$A^\mu$也是一个场，也就是说，
\begin{equation}
	A^\mu = A^\mu(t,x,y,z)
	\Rightarrow
	\begin{cases}
		\varphi = \varphi(t,x,y,z)\\
		A_x = A_x(t,x,y,z)\\
		A_y = A_y(t,x,y,z)\\
		A_z = A_z(t,x,y,z)
	\end{cases}
\end{equation}

\subsection{Lagrange量}
之后，我们要展开作用量$S$以得到Lagrange量$L$。
$S$的第一项$S_m$在“相对论自由粒子”中我们已经做过了，不再重复:
\begin{equation}
	S_m = - m_0 c \int \dd s = - m_0 c^2 \int \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} \dd t
\end{equation}
重点是完成第二项$S_{mf}$：
\begin{equation}
	S_{mf} = -q\int A_\mu \dd x^\mu = -q \int (\varphi/c c \dd t -A_x \dd x -A_y \dd y -A_z \dd z)
	= -q \int \left(\varphi -A_x v_x -A_y v_y -A_z v_z \right)\dd t
\end{equation}
注意，$A$与$\dd x$这两个4-向量的内积也要考虑度规，因此插入了负号。

总之，作用量是
\begin{equation}
	S = - m_0 c^2 \int \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} \dd t  - q \int \left(\frac{\varphi}{c} -A_x v_x -A_y v_y -A_z v_z \right)\dd t
\end{equation}
因此，Lagrange量是
\begin{equation}
	L = - m_0 c^2 \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} - q\varphi + qA_x v_x +qA_y v_y +qA_z v_z
\end{equation}

\newpage
\subsection{Euler-Lagrange方程}
Euler-Lagrange方程是
\begin{equation}
	\dv{}{t} \frac{\partial L}{\partial q'} = \pdv{L}{q} 
\end{equation}
此处取粒子的坐标$x$与速度$v_x$等代表广义坐标$q$和广义速度$q'$，共有$3$个这样的方程。

先做$x$方向上的Euler-Lagrange方程：
\begin{itemize}
	\item 方程右侧：
	\begin{equation}
		\pdv{L}{x} = - q \pdv{\varphi}{x} + q \pdv{A_x}{x} v_x + q \pdv{A_y}{x} v_y + q \pdv{A_z}{x} v_z
	\end{equation}
	\item 方程左侧：
		先做$\frac{\partial L}{\partial v_x}$
		\begin{equation}
			\frac{\partial L}{\partial v_x} = p_x + q A_x
		\end{equation}
		$p$是我们熟悉的相对论动量。
		然后是$\dv{}{t} \frac{\partial L}{\partial v_x}$
		\begin{equation}
			\dv{}{t} \frac{\partial L}{\partial v_x} = \dv{p_x}{t} + q\dv{A_x}{t}
		\end{equation}
	但是，$\dv{A_x}{t}$具体指什么呢？
	你可能会认为它是“场随时间的变化率”。
	然而，这个理解并不全面。由于粒子在不断移动，粒子所经历的场的变化不仅包括时间上的变化，还涉及因粒子空间位置变动而引起的场的变化。
	这就好比夏天室外温度为$36^\circ C$，而室内空调开启后温度降至$26^\circ C$。
	当你从室内走向室外时，虽然室内外的温度本身没有变化，但你感受到的温差达到了$10^\circ C$。
	这$10^\circ C$的温差正是由于你的空间位置变化所导致的。
	因此，除了$\pdv{A_x}{t}$之外，还需要考虑$\pdv{A_x}{x} \dv{x}{t}$等项。
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
		\dv{}{t} \frac{\partial L}{\partial v_x} 
		&= \dv{p_x}{t} + q \dv{A_x}{t} \\
		&= \dv{p_x}{t} + q \left( \pdv{A_x}{t} + \pdv{A_x}{x}\dv{x}{t}  + \pdv{A_x}{y} \dv{y}{t} + \pdv{A_x}{z} \dv{z}{t} \right) \\
		&= \dv{p_x}{t} + q \left( \pdv{A_x}{t} + \pdv{A_x}{x} v_x + \pdv{A_x}{y} v_y + \pdv{A_x}{z} v_z \right)
		\end{aligned}
	\end{equation}
	\item 方程左侧等于右侧，因此
	\begin{equation}
		\dv{p_x}{t} + q \left( \pdv{A_x}{t} + \pdv{A_x}{x} v_x + \pdv{A_x}{y} v_y + \pdv{A_x}{z} v_z \right)
		=
		- q \pdv{\varphi}{x} + q \pdv{A_x}{x} v_x + q \pdv{A_y}{x} v_y + q \pdv{A_z}{x} v_z
	\end{equation}
	整理得
	\begin{equation}
		\dv{p_x}{t} 
		= - q \pdv{\varphi}{x} - q \pdv{A_x}{t} 
		+ q(\pdv{A_y}{x} - \pdv{A_x}{y})v_y
		+ q(\pdv{A_z}{x} - \pdv{A_x}{z})v_z
	\end{equation}
	\end{itemize}
	我们还要做$y,z$的两个方程，不过幸好方法大同小异：
	\begin{equation}
		\dv{p_y}{t} 
		= - q \pdv{\varphi}{y} - q \pdv{A_y}{t} 
		+ q(\pdv{A_x}{y} - \pdv{A_y}{x})v_x
		+ q(\pdv{A_z}{y} - \pdv{A_y}{z})v_z
	\end{equation}
	\begin{equation}
		\dv{p_z}{t} 
		= - q \pdv{\varphi}{z} - q \pdv{A_z}{t} 
		+ (\pdv{A_x}{z} - \pdv{A_z}{x})v_x
		+ (\pdv{A_y}{z} - \pdv{A_z}{y})v_y
	\end{equation}
	集中注意力，我们发现可以使用$\nabla$将这三个繁琐的标量方程压缩为一个向量方程：
	\begin{equation}
		\dv{\bvec p}{t} = -q\grad \varphi - q \pdv{\bvec A}{t} +  q \bvec v \times (\curl \bvec A)
	\end{equation}
	通过展开即可验证二者相同。
	我们随后定义
	\begin{equation}
		\bvec E = -\grad \varphi - \pdv{\bvec A}{t} 
		\qquad
		\bvec B = \curl \bvec A
	\end{equation}
	其中$\bvec E$是电场，$\bvec B$是磁场（传统上称为磁感应强度）。那么我们就得到了
	\begin{equation}
		\dv{\bvec p}{t} = q\bvec E + q \bvec v \times \bvec B
	\end{equation}
	这就是电磁力方程。


	\subsection{使用指标记号的一节}
	如果觉得分量太麻烦，AI说还可以用指标记号推导。
	由于没有使用4-向量，也不涉及度规的转换，因此此处以$x_1,x_2,x_3$表示$x,y,z$等，
	同时采用Einstein求和约定。
	我们的Lagrange量是
	\begin{equation}
		L = - m_0 c^2 \sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2} - q\varphi + q A_i v_i
	\end{equation}
	那么方程右侧
	\begin{equation}
		\pdv{L}{x_i} = -q \pdv{\varphi}{x_i} + q \pdv{A_j}{x_i} v_j
	\end{equation}
	左侧
	\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\pdv{L}{v_i} &= p_i + q A_i \\
		\dv{}{t} \pdv{L}{v_i} &= \dv{}{t} p_i + q \dv{}{t} A_i \\
		&= \dv{}{t} p_i + q \pdv{A_i}{t} + q \pdv{A_i}{x_j} v_j
	\end{aligned}
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\dv{}{t} p_i + q \pdv{A_i}{t} + q \pdv{A_i}{x_j} v_j &= -q \pdv{\varphi}{x_i} + q \pdv{A_j}{x_i} v_j \\
		\dv{}{t} p_i &= -q \pdv{\varphi}{x_i} - q \pdv{A_i}{t} + q (\pdv{A_j}{x_i} - \pdv{A_i}{x_j}) v_j
	\end{aligned}
	\end{equation}
	还是得到了
	\begin{equation}
		\dv{\bvec p}{t} = q\bvec E + q \bvec v \times \bvec B
	\end{equation}

	\newpage
	\section{更相对论的一节}
	在前文，我们通过对比法得到了带电粒子的$L$。
	然而那种方法不够“相对论性”（Relativistic），因为没有充分利用相对论特有的4-向量。
	因此，我们采用变分法重新推导。这一节将涉及较多的4-向量知识。
	
	在使用变分法时，我们最好使用在“固连于带电粒子的参考系$S_0$”中所观察到的时间（学术术语：固有时间）$t^{(0)}$来计算过程的时长。
	固有时间是粒子自身经历的时间，不依赖于观测者所在的参考系。由于我们频繁使用$t^{(0)}$，因此将其简记为$\tau$，这是相对论文献中的常见做法。
	
	我们引入4-速度 
	\begin{equation}
		U^\mu = \dv{x^\mu}{\tau} \qquad \dd x^\mu = U^\mu \dd \tau
	\end{equation} 
	其中$x^\mu$表示粒子在当前参考系下的时空坐标。
	利用4-速度，粒子的“时空路程”（即世界线）可以形式化地表示为
	 \begin{equation} \dd s = 
		\sqrt{\dd x_\mu \dd x^\mu} = 
		\sqrt{U_\mu U^\mu} 
		\dd \tau 
	\end{equation} 
	在后续推导中将频繁使用这些关系。

	我们使用固有时间重新表述一定时间间隔内粒子的作用量
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			S = - m_0 c \int \dd s - q \int A_\mu \dd x^\mu 
			= - m_0 c \int \sqrt{U_\mu U^\mu} \dd \tau - q \int A_\mu U^\mu \dd \tau
		\end{aligned}
	\end{equation}
	这种改变积分变量方法的高级词汇是“重参数化”。
	接下来，我们对这个表达式应用变分法。
	这里变分法的物理意义与经典分析力学的类似，
	即假设在这一固有时间间隔内（注意是固有时间间隔，而不是观察者参考系中的时间间隔）粒子的具体时空运动路径发生微小变化，
	但保持始末位置不变：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S &=- m_0 c \int \frac{U_\mu \delta U^\mu}{\sqrt{U_\mu U^\mu} }\dd \tau 
			- q \int \delta A_\mu U^\mu \dd \tau
			- q \int A_\mu \delta U^\mu \dd \tau\\
			& = - m_0 \int U_\mu \delta U^\mu \dd \tau 
			- q \int \delta A_\mu U^\mu \dd \tau
			- q \int A_\mu \delta U^\mu \dd \tau \qquad \text{固有速度模长始终为$c$}\\
			& = - m_0 \int U_\mu \delta (\dv{x^\mu}{\tau}) \dd \tau 
			- q \int \delta A_\mu U^\mu \dd \tau
			- q \int A_\mu \delta (\dv{x^\mu}{\tau}) \dd \tau \qquad \text{固有速度定义}\\
			& = - m_0 \int \dv{}{\tau} ~(U_\mu \delta x^\mu )\dd \tau
			+ m_0 \int \dv{U_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau
			- q \int \delta A_\mu U^\mu \dd \tau \\
			& \quad - q \int \dv{}{\tau} ~(A_\mu  \delta x^\mu) \dd \tau 
			+ q \int \dv{A_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau \qquad \text{凑全微分}\\
			& = + m_0 \int \dv{U_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau
			- q \int \delta A_\mu U^\mu \dd \tau 
			+ q \int \dv{A_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau\\
			& = + m_0 \int \dv{U_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau
			- q \int \pdv{A_\mu}{x^\nu} U^\mu \delta x^\nu \dd \tau 
			+ q \int \pdv{A_\mu}{x^\nu} U^\nu \delta x^\mu \dd \tau \qquad \text{链法则展开$\dd A^\mu$}\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	呼！休息一下，就要接近了
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S & = + m_0 \int \dv{U_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau
			- q \int \pdv{A_\mu}{x^\nu} U^\mu \delta x^\nu \dd \tau 
			+ q \int \pdv{A_\mu}{x^\nu} U^\nu \delta x^\mu \dd \tau\\
			& = + m_0 \int \dv{U_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau
			- q \int \pdv{A_\nu}{x^\mu} U^\nu \delta x^\mu \dd \tau 
			+ q \int \pdv{A_\mu}{x^\nu} U^\nu \delta x^\mu \dd \tau \qquad \text{第二项哑标$\mu,\nu$名称互换}\\
			& = + m_0 \int \dv{U_\mu}{\tau} \delta x^\mu \dd \tau
			- q \int (\pdv{A_\nu}{x^\mu} - \pdv{A_\mu}{x^\nu}) U^\nu \delta x^\mu \dd \tau \\
			& = \int (m_0 \dv{U_\mu}{\tau} - qF_{\mu\nu}U^\mu)\delta x^\mu \dd \tau
			 \qquad \text{定义$F_{\mu\nu} = \pdv{A_\nu}{x^\mu} - \pdv{A_\mu}{x^\nu}$}\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	第二项哑标$\mu,\nu$名称互换时，由于$\mu,\nu$都是哑标，因此改名不影响结果。
	老生常谈，由于$\delta x^\mu$是任意的，而$\delta S=0$，因此
	\begin{equation}
		m_0 \dv{U_\mu}{\tau} = qF_{\mu\nu} U^\nu
	\end{equation}
	使用我们更习惯的度规：
	\begin{equation}
		m_0 \dv{U^\mu}{\tau} = qF^{\mu\nu} U_\nu
	\end{equation}
	注意到$P^\mu=m_0 U^\mu$是4-动量，
	\begin{equation}
		\dv{P^\mu}{\tau} = qF^{\mu\nu} U_\nu
	\end{equation}
	这就是相对论4-动量下的电磁力方程！多么简明、优雅、4-向量、Lorentz协变啊！
	在这种表述下，我们很容易理解，为什么要引入电磁张量$F^{\mu\nu}$。
	如果喜欢的话，我们还能定义电磁场的4-力
	\begin{equation}
		K^\mu = qF^{\mu\nu} U_\nu
	\end{equation}
\end{document}